خانه / حل معادله درجه دوم
حل معادله درجه دوم
ضرایب a، b و c را وارد کنید تا ممیز، ریشه‌ها (حقیقی یا مختلط) و رأس سهمی بلافاصله محاسبه شود.
فرمول کلی حل معادله درجه دوم
برای معادله‌ی ax²+bx+c=۰ (با a≠۰)، ابتدا ممیز Δ=b²−۴ac را محاسبه می‌کنیم. این عدد تعیین می‌کند که معادله چه نوع ریشه‌ای دارد. اگر Δ مثبت باشد، فرمول ریشه‌ها x=(−b±√Δ)/۲a دو جواب حقیقی و متمایز می‌دهد؛ اگر Δ دقیقاً صفر باشد، هر دو جواب برابر و مساوی −b/۲a هستند؛ و اگر Δ منفی باشد، جذر آن در اعداد حقیقی تعریف‌نشده است، پس ریشه‌ها به‌صورت اعداد مختلط p±qi نوشته می‌شوند که p=−b/۲a و q=√|Δ|/۲a.
یک مثال کامل
برای معادله‌ی x²−۳x+۲=۰ داریم a=۱، b=−۳ و c=۲، پس Δ=(−۳)²−۴×۱×۲=۹−۸=۱. چون Δ مثبت است، دو ریشه‌ی حقیقی داریم: x=(۳±۱)/۲ که برابر است با x₁=۲ و x₂=۱. رأس این سهمی هم در نقطه‌ی x=−b/۲a=۱.۵ و y=c−b²/۴a=۲−۲.۲۵=−۰.۲۵ قرار دارد.
پرسش‌های متداول
ممیز (Δ) در معادله درجه دو چیست؟
ممیز از فرمول Δ=b²−4ac به‌دست می‌آید و نشان می‌دهد معادله چند ریشه حقیقی دارد: اگر Δ>۰ دو ریشه حقیقی متمایز، اگر Δ=۰ یک ریشه حقیقی مضاعف، و اگر Δ<۰ دو ریشه مختلط وجود دارد.
اگر a برابر صفر باشد چه می‌شود؟
در این حالت معادله دیگر درجه دو نیست، بلکه یک معادله خطی به‌صورت bx+c=۰ است و پاسخ آن برابر x=−c/b خواهد بود، به‌شرط آن‌که b صفر نباشد.
ریشه‌های مختلط یعنی چه؟
وقتی Δ منفی باشد، معادله هیچ ریشه حقیقی ندارد و ریشه‌ها به‌صورت اعداد مختلط p±qi نوشته می‌شوند که p قسمت حقیقی و q ضریب قسمت موهومی است.
رأس سهمی چگونه محاسبه می‌شود؟
رأس سهمیِ y=ax²+bx+c در نقطه‌ای با مختصات x=−b/2a و y=c−b²/4a قرار دارد؛ این نقطه کمینه یا بیشینه‌ی تابع را نشان می‌دهد.